Untuk lebih lengkapnya download di :
Pohon Merentang Minimum

Bramianha Adiwazsha - NIM: 13507106
Program Studi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika
Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganeca 10 Bandung
E-mail : if17106@students.if.itb.ac.id


Abstract – Makalah ini membahas penerapan prinsip
algoritma greedy menemukan solusi optimum dalam
pemecahan masalah pembentukan pohonmerentang
minimum pada graf. Walaupun pada beberapa
persoalan algoritma greedy gagal menemukan solusi
optimum, namun metode ini tetap yang paling populer
dalam persoalan optimasi dengan membentuk solusi
langkah per langkah (step by step). Dan Algoritma
yang termasuk dalam algoritma greedy yang dapat
memecahkan masalah minimum spanning tree adalah
algoritma Prim dan Kruskal. Maka akan dilihat
pemecahan masalah ini dengan kedua metode yang
ada.

Kata Kunci: graf, greedy, pohon merentang minimum,
Prim ,Kruskal .

1. PENDAHULUAN

Agoritma greedy adalah algoritma yang memecahkan
masalah langkah per langkah, pada setiap langkah
membuat pilihan optimum (local optimum) pada
setiap langkah dengan harapan bahwa langkah
berikutnya mengarah ke solusi optimum global
(global optimum).


Algoritma greedy membuat keputusan berdasarkan
pilihan yang ada sekarang, tidak melihat pilihan yang
akan muncul kemudian. Karena itulah algoritma
greedy dikategorikan dalam algoritma yang
‘berpandangan pendek’ dan tidak dapat diulang karena
keputusan yang telah diambil pada suatu langkah tidak
dapat diubah lagi pada langkah selanjutnya. Padahal
dalam permasalahan optimasi terdapat banyak pilihan
yang perlu dieksplorasi pada setiap langkah solusi.
Terkadang algoritma greedy mengambil keputusan
yang diambil terlalu dini tanpa melihat yang akan
ditemui berikutnya sehingga menimbulkan apa yang
disebut “good next move, bad overall move”.

Melihat kelemahan yang dimiliki, solusi optimum
global yang didapatkan belum tentu merupakan solusi
optimum (terbaik), tetapi sub-optimum atau pseudo-
optimum. Karena algoritma greedy tidak beroperasi
secara menyeluruh terhadap semua alternative solusi
yang ada.

Namun begitu algoritma ini tetap adalah pilihan utama
untuk permasalahan yang sederhana karena ini adalah
metode yang paling cepat dibanding metode yang lain
dan dapat memberikan solusi hampiran atau
aproksimasi terhadap nilai optimum yang diinginkan
serta hasil yang diberikan masih merupakan solusi
yang layak (feasible solution).

Algoritma yang termasuk ke dalam tipe algoritma
greedy antara lain kode Huffman,algoritma Dijkstra,
algoritma Prim, dan algoritma Kruskal yang ketiganya
digunakan dalam menyelesaikan permasalahan
optimasi pada graf.

Kali ini pembahasan akan ditik beratkan pada
pemecahan masalah pembentukan pohon merentang
minimum. Pohon merentang minimum sangat banyak
aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari.

Dan dari algoritma greedy yang ada yang dapat
memecahkan masalah ini adalah Agoritma Prim dan
Algoritma Kruskal. Kedua algoritma ini memiliki
karakter tersendiri dan akan kita lihat dalam
pembahasan berikut ini.


2. PEMBAHASAN

2.1. Teori Graf dan Pohon

2.1.1 Graf
Graf (Graph) didefinisikan sebagai:
G = {V, E}
Dalam hal ini, V merupakan himpunan tidak kosong
dari simpul-simpul (vertices / node) digambarkan
dalam titik-titik, dan E adalah himpunan sisi-sisi
(edges / arcs) digambarkan dalam garis-garis yang
menghubungkan sepasang simpul.
Dapat dikatakan graf adalah kumpulan dari simpul-
simpul yang dihubungkan oleh sisi-sisi.


Gambar 1: Graf G
Pada G
diatas, graf terdiri dari himpunan V dan E
yaitu:
V = {A, B, C}
E = {e
1
, e
2
, e
3
, e
4
}
= {(A,B),(B,C),(B,C),(A,C)}

Pengelompokan graf dapat dipandang berdasarkan ada
tidaknya sisi ganda atau sisi kalang, berdasarkan
jumlah simpul, atau berdasarkan orientasi arah pada
sisi.

1. Graf sederhana
Graf yang tidak mengandung gelang maupun
sisi-ganda dinamakan graf sederhana.

2. Graf tak sederhana
Graf yang mengandung sisi ganda atau
gelang dinamakan graf tak-sederhana
(unsimple graph). Ada dua macam graf tak-
sederhana, yaitu graf ganda (multigraph) dan
graf semu (pseudograph). Graf ganda adalah
graf yang mengandung sisi ganda. Graf semu
adalah graf yang mengandung gelang



Gambar 2 : Graf berdasarkan ada tidaknya sisi gelang
atau sisi ganda, (a). Graf sederhana, (b). Graf ganda, (c).
Graf semu

3. Graf berhingga
Graf berhingga adalah graf yang jumlah
simpulnya, n, berhingga.

4. Graf tak berhingga
Graf yang jumlah simpulnya n, tidak
berhingga banyaknya disebut graf
takberhingga.

5. Graf berarah
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi
arah disebut sebagai graf berarah. Kita lebih
suka menyebutsisi berarah dengan sebutan
busur (arc).

6. Graf tak berarah
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi
arah disebut graf tak-berarah. Pada graf tak-
berarah, urutan pasangan simpul yang
dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan.

7. Graf Berbobot (Weight Graf)
Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya
diberi sebuah harga.


2.1.2 Pohon
Pohon adalah graf tak-berarah terhubung
dan tidak mengandung sirkuit.



Gambar 3: Pohon G1

Sifat yang terpenting pada pohon adalah terhubung
dan tidak mengandung sirkuit. Pohon dinotasikan
sama dengan T = ( V,E )
Keterangan :
T : Tree
V : Vertices atau node atau vertex atau
simpul, V merupakan himpunan tidak
kosong. V = {v1,v2,…,vn}
E : Edges atau Arcs atau sisi yang
menghubungkan simpul E = {e1,e2,..,en}

2.1.3Pohon merentang
- Pohon merentang dari graf terhubung adalah
upagraf merentang yang berupa pohon.
- Pohon merentang diperoleh dengan memutus sirkuit
di dalam graf.
- Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit
Satu buah pohon merentang.
- Graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai
k buah hutan merentang yang disebut hutan
merentang (spanning forest).

Contoh pembentukan pohon merentang:

Gambar 4: Pembentukan pohon merentang
Keterangan :
T1 dan T2 merupakan pohon merentang dari graf G
Pohon merentang T1 dibentuk dengan cara
menghapus sisi {(a,c), (b,c), (b,d), (c,d), (e,f)} dari
graf G.
Pohon merentang T1 dibentuk dengan cara
menghapus sisi {(a,f), (a,b), (b,c) (b,e), (c,d)} dari
grafG.


2.14. Pohon Merentang Minimun
Jika G pada merupakan graf berbobot, maka bobot
pohon merentang T1 atau T2 didefinisikan sebagai
jumlah bobot semua sisi di T1atau T2. Diantara pohon
merentang yang ada padaG, yang paling penting
adalah pohon merentang dengan bobot minimum.

Pohon merentang dengan bobot minimum ini disebut
dengan pohon merentang minimum atau Minimum
Spanning Tree (MST).

Contoh aplikasi MST yang sering digunakan
adalahpemodelan proyek pembangunan jalan
rayamenggunakan graf.

MST digunakan untuk memilihn jalur dengan bobot
terkecil yang akan meminimalkan biaya pembangunan
jalan.





2.2.Algoritma Greedy untuk Pohon merentang
minimum
Terdapat dua macam algoritma tipe greedy yang dapat
memenuhi pemecahan masalah pohon merentang ini.
Yaitu algoritma Prim dan algoritma kruskal.

2.2.1.Algoritma Prim
Algoritma Prim membentuk pohon merentang
minimum dengan langkah per langkah. Pada setiap
langkah kita mengambil sisi graf G yang memiliki
bobot minimum namun yang terhubung dengan pohon
merentang T yang telah terbentuk.

Algoritma Prim
1. Ambil sisi dari graf G yang berbobot
minimum, masukan ke dalam T.
2. Pilih sisi (u, v) yang memiliki bobot minimum
dan bersisian dengan dengan simpul di T.
Tetapi (u, v) tidak membentuk sirkuit di T.
Tambahkan (u, v) ke dalam T.
3. Ulangi langkah 2 sebanyak (n-2) kali.

Pseudo-code algoritma Prim adalah sebagai berikut:

procedure Prim (input G : graf, output T :
pohon)
{
1.Membentuk pohon merentang minimum T dari
graf terhubung G.
2.Masukan: graf-berbobot terhubung G =(V, E),
yang mana |V|= n
3.Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’)
}
Deklarasi
i, p, q, u, v : integer
Algoritma
Cari sisi (p,q) dari E yang berbobot terkecil
T ← {(p,q)}
for i←1 to n-2 do
Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya
terkecil namun bersisian dengan suatu
simpul di dalam T.
T←T u {(u,v)}
endfor


2.2.2Algoritma Kruskal
Algoritma Kruskal juga termasuk algoritma yang
dapat digunakan untuk mencari pohon merentang
minimum. Pada Algoritma Kruskal sisi graf diurut
terlebih dahulu berdasarkan bobotnya dari kecil
membesar. Dan cara pemasukan sisi dalam T tidak
perlu bersisian todak seperti pada algoritma Prim.

Algoritmanya:
1. Himpunan sisi dari G diurutkan membesar
sesuai bobot sisi tersebut.
2. Buat T dengan memasukkan 1 sisi terpendek
dari G tersebut.
3. Ulang (banyak sisi T = (banyak simpul G) -1)
a. Ambil sisi selanjutnya dari G.
b. Jika sisi itu tidak membuat sirkuit di T
- Masukkan sisi itu ke T.
- Masukkan simpul-simpul sisi itu ke T.

procedure Kruskal (input G: graf, output T:
pohon)
{Membentuk pohon merentang minimum T dari
graf terhubung G}
Deklarasi:
i, p, q, u, v: integer
Algoritma:
{Asumsi: sisi-sisi graf sudah diurut menaik
berdasarkan bobotnya}
T <- br="">while jumlah sisi T < n-1 do
Pilih sisi dari E yang bobotnya terkecil
if (u, v) tidak membentuk siklus di T then
T <- br="" t="" u="" v=""> endif
endwhile


2.3.Aplikasi Pembentukan Pohon Merentang
Sekarang akan kita membentuk sebuah pohon
merentang menggunakan algoritma greedy. Karena
ada dua algoritma greedy yang bisa digunakan untuk
membentuk pohon merentang minimum yaitu
algoritma prim dan kruskal, maka akan kita lihat
perbedaannya pada kasus berikut.

Sebenarnya pada kasus yang berbeda hasil yang
ditunjukkan oleh kedua algoritma yang ada juga akan
memberikan jumlah langkah yang berbeda walaupun hasil akhir pohon merentangnya akan tetap sama.


Gambar 5: graf X yang akan dicari pohon
merentangnya

Tabel 1. Langkah Pembentukan MST (gambar)

langkah Algoritma Prim Algoritma Kruskal
0

1

2

3

4

5



Kemudian dapat kita lihat urutan kerja pada tiap
langkah untuk masing-masing algoritma pembentukan
pohon merentang minimum ini.

Tabel 2. Langkah Pembentukan MST (urutan)

Langkah Prim Kruskal
Simpul Sisi
terbentuk
Sisi Simpul
masuk
0 6 - - -
1 5 {(6,5)} (5,4) {4,5}
2 4 {(6,5),
(5,4)}
(5,6) {4,5,6}
3 1 {(6,5),
(5,4),
(4,1), }
(1,2) {1,2,4,5,6}
4 2 {(6,5),
(5,4),
(4,1),
(1,2)}
(2,3) {1,2,3,4,5,6}
5 3 {(6,5),
(5,4),
(4,1),
(1,2),
(2,3)}
(1,4) {1,2,3,4,5,6}


3. HASIL DAN PEMBAHASAN

Dari tabel terlihat bahwa secara umum, algoritma
Kruskal bisa berjalan hampir sama dibanding
algoritma Prim.
Namun jumlah simpul dan jumlah sisi dalam graf juga
menentukan algoritma apa yang sebaiknya dipakai
karena tiap algoritma memiliki kekuatan tersendiri
sesuai dengan spesifikasinya.

Saat graf memiliki sisi berjumlah sedikit namun
memiliki sangat banyak simpul, Kruskal akan lebih
cocok diterapkan karena orientasi kerja algoritma ini
adalah berdasarkan pada urutan bobot sisi, tidak
berdasarkan simpul.

Sebaliknya untuk graf lengkap atau yang mendekati
lengkap, dimana setiap simpul terhubungkan dengan
semua simpul yang lain Prim menunjukkan perbedaan
yang cukup besar. Dibandingkan dengan algoritma
Kruskal.

Sebenarnya hal ini sudah terlihat dari tahap-tahap algoritma itu sendiri. Prim lebih berorientasi kepada
pencarian simpul sedangkan Kruskal pada pencariam
sisi, dimana sisi-sisi tersebut harus diurutkan dan ini
memakan waktu yang tidak sedikit. Apalagi bila
algoritma pengurutan yang digunakan juga tidak
mangkus.

Sehingga pada pengujian kali ini masih belum bias
terlihat mana algoritma yang lebih unggul untuk kasus
graf X diatas. Karena jumlah simpul dan sisi dalam
graf tersebut masih relative sedikit. Dimana kita tahu
algoritma dengan kompleksitas yang berbeda baru
akan terlihat bedanya pada jumlah input yang besar.


4. KESIMPULAN

Permasalahan membentuk pohon merentang minimum
dari sebuah graf dapat diselesaikan dengan
menggunakan algoritma greedy (algoritma Prim dan
algoritma kruskal) yang mengupayakan pengambilan
pilihan optimum pada setiap langkah dengan harapan
akan mendapatkan hasil optimum global pada
akhirnya.

Algoritma Prim dan Kruskal memiliki perbedaan
dalam jumlah langkah yang harus diambil, cara
penentuan langkah dan aturan dalam pembentukan
pohon merentang minimum.

Algoritma Kruskal menitikberatkan pemilihan sisi
berdasarkan urutan bobotnya. Dan karena terlebih
dahulu harus mengurutkan sisi berdasarkan bobotnya,
algoritma ini lebih cocok untuk pohon dengan jumlah
simpul sedikit kurang disarankan untuk pohon dengan
jumlah simpul yang banyak.
Jumlah langkah yang harus diambil adalah sebanyak
n-1 kali, (n=jumlah simpul).

Algoritma Prim menitikberatkan pada pemilihan bobot
minimum berdasarkan simpul yang diambil. Dan
karena tidak perlu mengurutkan terlebih dahulu
Algoritma prim cocok untuk pohon dengan jumlah
simpul banyak.
Jumlah langkah yang harus diambil adalah sebanyak n
kali, (n=jumlah simpul).



DAFTAR REFERENSI

[1] Munir, Rinaldi. (2008). Diktat Kuliah IF2091
Struktur Diskrit Edisi Keempat. Program Studi
Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan
Informatika, Institut Teknologi Bandung. \
[2] Wikipedia. (2008)
http://en.wikipedia.org/wiki/Greedy_algorithm
Tanggal akses: 3 Januari 2008 pukul 20:30 WIB
[3] Wikipedia. (2008)
http://en.wikipedia.org/wiki/Greedy_algorithm
Tanggal akses: 3 Januari 2008 pukul 21:10 WIB
[4] Wikipedia. (2008)
http://id.wikipedia.org/wiki/Algoritma_Prim
Tanggal akses: 4 Januari 2008 pukul 20.:15 WIB
[5] NIST. (2008)
http://www.nist.gov/dads/HTML/primJarnik
Tanggal akses: 5 Januari 2008 pukul 19.00 WIB








0 comments:

Poskan Komentar