Lebih Lengkap download di :
Relasi Kalkulus

Hubungan/relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.

2.1.1 SEBUAH RELASI R TERDIRI DARI:
1. Himpunan A
2. Himpunan B
3. Sebuah kalimat terbuka P(x,y) yang menyatakan hubungan antara himpunan A dengan himpunan B.
Dimana x bersesuaian dengan a € A dengan y bersesuaian dengan b € B.

 Bila P(a,b) betul maka a berelasi dengan b. Ditulis a R b
 Bila tidak demikian maka a R b

Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. Hal ini dinotasikan dengan R (A x B).Jika (a, b) R, kita gunakan notasi a R b yang artinya a dihubungakan dengan b oleh R, dan jika (a, b) Є R, kita gunakan notasi a R b yang artinya a tidak dihubungkan dengan b oleh relasi R. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range atau codomain) dari R.



Contoh:
Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) Є R jika p habis membagi q maka kita peroleh
R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)}.

Daerah asal dan daerah hasl relasi bias saja merupakan himpunan yang sama. Ini berarti relasi hanya didefinisikan pada sebuah himpunan. Misalnya R adalah relasi yang didefinisikan pada himpunan orang yang dalam hal ini (x, y) Є R jika x adalah ibu dari y. Relasi yang didefinisikan hanya pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus. Definisi relasi khusus ini dikemukakan dengan definisi berikut: Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A x A. Dengan kata lain, relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A x A.

Contoh:
Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh (x, y) Є R jika x adalah faktor prima dari y. Maka
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)}.


2.2 HASIL KALI KARTESIAN
Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Hasil kali Kartesian A dengan B (Simbol A x B) adalah himpunan semua pasangan berurutan (a,b) dengan a € A dan b € B.

A x B = {(a,b)|a € A,b € B}
Secara umum, hasil kali kartesian A1,A2,....,An didefinisikan sebagai :
A1 x A2 x ... x An = {(a1,a2,...,an)|a1 € A1,a2 € A2,....,an € An}

Contoh 1 :
Misalkan : A = {a,b,c}; B = {α, β, γ}
Hitunglah : A x B
Penyelesaian :
A x B = {(a,α), (a,β), (a,γ), (b,α), (b,β), (b,γ), (c,α),(c,β), (c,γ)}

Contoh 2 :
Misalkan : A = {a,b,c}; B = {α, β, γ}; C = {1,2}
Hitunglah : (A x B) x C
Penyelesaian :
(A x B) x C = {((a,α),1),((a,α),2),((a,β)1),((a,β),2),((a,γ),1),((a,γ),2),((b,α),1),
((b,α),2),((b,β),1),(( b,β),2),((b,γ),1),((b,γ),2),((c,α),1),((c,α),2),((c,β),1),
((c,β),2),((c,γ),1),((c,γ),2).


2.3 KOMPOSISI RELASI
Cara lain mengkombinasikan relasi adalah dengan mengkomposisikan dua buah relasi atau lebih. Definisi dari komposisi dua buah relasi didefinisikan sebagai berikut.
DEFINISI. Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S o R, adalah relasi dari A ke C didefinisikan oleh S o R = {(a,c) | a € A, c € C, dan untuk beberapa b € B, (a,b) € R dan (b,c) € S}
Dengan kata lain, menurut Definisi diatas kita menerapkan relasi R lebih dahulu, baru kemudian relasi S.
Misalkan A,B dan C adalah himpunan-himpunan. R1 A x B dan R2 B x C
Komposisi R1 dan R2 (simbol R1 o R2) adalah relasi yang elemen pertamanya adalah elemen pertama R1 dan elemen keduanya adalah elemen kedua R2.

R1 o R2 = {(x,z) | (x,y) € R1 dan (y,z) € R2}

Contoh 1 :
Misalkan R1 = {(a,a),(a,b),(c,b)}
R2 = {(a,a),(b,c),(b,d)}
Hitunglah R1 o R2
Penyelesaian :
R1 o R2 = {(a,a),(a,c),(a,d),(c,c),(c,d)}

Contoh 2 :
Misalkan R dan S adalah relasi-relasi yang didefinisikan pada himpunan bilangan bulat positif I.
R = {(x, 2x) | x € I }
S = {(x, 7x) | x € I }
Carilah R o S, R o R.
Penyelesaian:
R = {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),(5,10),(6,12), ...}
S = {(1,7),(2,14),(3,21),(4,28), ...}
Maka
R o S = {(1,14),(2,28),(3,42), ...} = {(x,14x)| x € I}
R o R = {(1,4),(2,8),(3,12), ...} = {x, 4x) | x € I}


Tanpa disiplin diri, anda akan berhadapan dengan banyak hal yang mungkin tidak bisa anda capai. Mungkin anda bisa bergerak sebentar dengan mengandalkan semangat, kecerdasan, dan hasrat. Tetapi, cepat atau lambat anda akan berhadapan dengan sesuatu yang tidak bisa anda raih tanpa adanya disiplin.

Kita cenderung menganggap disiplin dalam term negatif, yangditempatkan bertetangga dengan kata "hukuman". Namun, sadarkah anda, bahwa satu-satunya disiplin yang negatif - hanya bila hal itu dilakukan oleh orang lain kepada anda. Disiplin diri sebaliknya, adalah sepenuhnya positif dan mendukung.

Anda diberi pilihan. Anda dapat mengabaikan disiplin diri dan menunggu didisiplinkan orang lain - yang terkadang keras dan menyakitkan. Atau mendisiplinkan diri, yang akan dibayar oleh banyak pencapaian.