Relasi Kalkulus

Lebih Lengkap download di :
Relasi Kalkulus

Hubungan/relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.

2.1.1 SEBUAH RELASI R TERDIRI DARI:
1. Himpunan A
2. Himpunan B
3. Sebuah kalimat terbuka P(x,y) yang menyatakan hubungan antara himpunan A dengan himpunan B.
Dimana x bersesuaian dengan a € A dengan y bersesuaian dengan b € B.

 Bila P(a,b) betul maka a berelasi dengan b. Ditulis a R b
 Bila tidak demikian maka a R b

Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. Hal ini dinotasikan dengan R (A x B).Jika (a, b) R, kita gunakan notasi a R b yang artinya a dihubungakan dengan b oleh R, dan jika (a, b) Є R, kita gunakan notasi a R b yang artinya a tidak dihubungkan dengan b oleh relasi R. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range atau codomain) dari R.



Contoh:
Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) Є R jika p habis membagi q maka kita peroleh
R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)}.

Daerah asal dan daerah hasl relasi bias saja merupakan himpunan yang sama. Ini berarti relasi hanya didefinisikan pada sebuah himpunan. Misalnya R adalah relasi yang didefinisikan pada himpunan orang yang dalam hal ini (x, y) Є R jika x adalah ibu dari y. Relasi yang didefinisikan hanya pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus. Definisi relasi khusus ini dikemukakan dengan definisi berikut: Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A x A. Dengan kata lain, relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A x A.

Contoh:
Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh (x, y) Є R jika x adalah faktor prima dari y. Maka
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)}.


2.2 HASIL KALI KARTESIAN
Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Hasil kali Kartesian A dengan B (Simbol A x B) adalah himpunan semua pasangan berurutan (a,b) dengan a € A dan b € B.

A x B = {(a,b)|a € A,b € B}
Secara umum, hasil kali kartesian A1,A2,....,An didefinisikan sebagai :
A1 x A2 x ... x An = {(a1,a2,...,an)|a1 € A1,a2 € A2,....,an € An}

Contoh 1 :
Misalkan : A = {a,b,c}; B = {α, β, γ}
Hitunglah : A x B
Penyelesaian :
A x B = {(a,α), (a,β), (a,γ), (b,α), (b,β), (b,γ), (c,α),(c,β), (c,γ)}

Contoh 2 :
Misalkan : A = {a,b,c}; B = {α, β, γ}; C = {1,2}
Hitunglah : (A x B) x C
Penyelesaian :
(A x B) x C = {((a,α),1),((a,α),2),((a,β)1),((a,β),2),((a,γ),1),((a,γ),2),((b,α),1),
((b,α),2),((b,β),1),(( b,β),2),((b,γ),1),((b,γ),2),((c,α),1),((c,α),2),((c,β),1),
((c,β),2),((c,γ),1),((c,γ),2).


2.3 KOMPOSISI RELASI
Cara lain mengkombinasikan relasi adalah dengan mengkomposisikan dua buah relasi atau lebih. Definisi dari komposisi dua buah relasi didefinisikan sebagai berikut.
DEFINISI. Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S o R, adalah relasi dari A ke C didefinisikan oleh S o R = {(a,c) | a € A, c € C, dan untuk beberapa b € B, (a,b) € R dan (b,c) € S}
Dengan kata lain, menurut Definisi diatas kita menerapkan relasi R lebih dahulu, baru kemudian relasi S.
Misalkan A,B dan C adalah himpunan-himpunan. R1 A x B dan R2 B x C
Komposisi R1 dan R2 (simbol R1 o R2) adalah relasi yang elemen pertamanya adalah elemen pertama R1 dan elemen keduanya adalah elemen kedua R2.

R1 o R2 = {(x,z) | (x,y) € R1 dan (y,z) € R2}

Contoh 1 :
Misalkan R1 = {(a,a),(a,b),(c,b)}
R2 = {(a,a),(b,c),(b,d)}
Hitunglah R1 o R2
Penyelesaian :
R1 o R2 = {(a,a),(a,c),(a,d),(c,c),(c,d)}

Contoh 2 :
Misalkan R dan S adalah relasi-relasi yang didefinisikan pada himpunan bilangan bulat positif I.
R = {(x, 2x) | x € I }
S = {(x, 7x) | x € I }
Carilah R o S, R o R.
Penyelesaian:
R = {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),(5,10),(6,12), ...}
S = {(1,7),(2,14),(3,21),(4,28), ...}
Maka
R o S = {(1,14),(2,28),(3,42), ...} = {(x,14x)| x € I}
R o R = {(1,4),(2,8),(3,12), ...} = {x, 4x) | x € I}